【解答】
題意より
-
(i)
-
(ii)
である．
とおくとだからである．
(1)
であることを背理法で示す．
そこでをみたすの要素があると仮定すると，
を満たすが存在する．この時
においてだから，の符号はと等しい．
そこで以下この符号で場合分けする．
2. の時
この時(式2)よりである．(式1)の両辺にをかけて
を得る．(式1),(式7)を辺々足して
となるが，これはに矛盾して不適である．
以上の場合分けから，背理法によりをみたすは存在せずよってである．
(2)
帰納法により題意を示す．
の時はとおくとだから成立するので，以下でのを仮定してでの成立を示す．
仮定より整数を用いて
と書ける．
まずでの成立を示す．両辺にをかけるとより
である．
ここでよりが(i)(ii)をみたすことから，
となってが成り立つ．したがってでも題意は成立する．
次にでの成立を示す．(式10)と同様に，(式9)の両辺にをかけると
である．が(i)(ii)を満たすことより
となってが成り立つ．したがってでも題意は成立する．
以上からでも題意が成立するから，題意は数学的帰納法により示された．
(3)
題意を背理法で示す．
の要素があっていかなる整数によっても と書けないと仮定する．
よりはについて単調増加でかつの領域をとるから，適当な整数を用いて
と書ける．両辺にをかけると
となる．ここで(2)からもの元だが，これはがより大きいの元の内で最小であることに反して矛盾する．
よって背理法により，の任意の元は適当な整数によってと書ける．
