東京工業大学 前期 1985年 第2問 (解答解説)
空間において，6枚の平面
-
を求めよ． -
を の関数と考えたとき， および で微分可能であるか．
【解答】
(1)
とおく．
下図のように直方体
である．以下
\tdplotsetmaincoords{65}{120}
図 1: 直方体Vの様子．
この時切断面は以下のようになり，直方体の辺と切断面の交点は辺OC, OG, OA上にくる．
\tdplotsetmaincoords{65}{120}
図 2:
切断された立体のうち点Oを含む三角錐の体積は
であり，これは
である．
この時切断面は以下のようになり，直方体の辺と切断面の交点は辺BC,CF, FG, GD, DA, AB上にくる．
\tdplotsetmaincoords{65}{120}
図 3:
切断立体のうち原点
である．対してコーナーの小さい三角錐は大きな三角錐との比が
である．従って断立体のうち原点
である．
以上3つの場合分けから求める体積は
である．
(2)
と置くと，これらは
1.
この時の左右極限は
より一致するから，
2.
この時の左右極限は
より一致しないから，
以上から
である．