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東京工業大学 前期 1977年 解答解説 このページの閲覧数
#積分
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東京工業大学 前期 1977年 第5問 (解答解説)

📝 問題

は周期がの連続関数で，は正の定数とする．このとき，次の問に答えよ．

  1. を証明せよ．

  2. すべてのについてが成り立つとき， およびの値を求めよ．ただしとする．

✏️ 解答解説

【解答】

題意よりは周期の周期関数だから に対して

を満たす．

(1)

与えられた積分において と置換積分すると

第項でとした式及び

となり，題意は示された．

(2)

(1)から，

が についての恒等式になれば良い． 以下 とする．(式3)の左辺を加法定理で変形すると

式の左辺

であるから，(式3)に代入して

となる． 新しく

とおく． (式7)を(式6)に代入すると

となる．ここで題意よりだから

が従う． (式9)を(式6)に代入すると

および

を得る．辺々掛け算すると

である．またはの時は(式13),(式16)より直ちにが従うが，これは(式10)よりとなり題意の条件に矛盾する． 従って

であり，(式10),(式13)より

となり，(式7)より

である．

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