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東京工業大学 前期 1978年 解答解説 このページの閲覧数
#積分
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東京工業大学 前期 1978年 第5問 (解答解説)

📝 問題

2つの関数，が，を満たすとき，積分

を最小にするを求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

とおく． は4次のモニック多項式であり， より，因数定理から， として

とかける．したがって，

だから， として偶関数と奇関数の性質を用いると

である．よっての最小値を与える は，

である．この時(式1)から

だから， とおけば良い．

【解説】

今回出てきた積分はベータ関数

の形をしている．これはガンマ関数と

の関係にある．ガンマ関数は引数が自然数の時は階乗だからに対して

である．有名な公式はこのの時で

である．

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