東京工業大学 前期 1978年 第2問 (解答解説)

【解答】

とおく．以下 に注意する．

(1)

を展開すると

だから， となる時（） つまり が で割り切れる．

(2)

(1)より に対して（）

とおける．又， 及び題意の不等式より

である． (式3)を用いて(式2)の左辺を上から評価すると

となり， から

なる評価を得る．(式3)と合わせて

が必要である．(式2)に代入して

を得る．

を得たのと全く同様にしてを求めよう．(式7)の左辺を上からで評価し，右辺を下からで評価すると

だから(式3)より

が必要である．(式7)に代入すると

を得る．ここで(式3),(式9)よりだから

となり，これを満たす自然数はのみである．この時(式10)よりである． 以上から

が必要である．この時実際にで確かにはで割り切れるから題意を満たして十分である． よって求めるの値は

である．