東京工業大学前期 1979年第2問 (解答解説)

【解答】

とおく．だから

の最大値がとなるの範囲を求めれば良い．そこでの挙動を調べるため一階微分を計算すると

である．の時となりは単調増加である．それ以外の時，はについての二次関数だからの解の数は判別式

の正負によって異なる．となるのはにも注意して

の時である．この時は実数解

を持つ．これがの値域におさまる条件は (式4) のもとで

である．またこの時のの値は

である．

の挙動の場合分けとしては以下の通りとなる．

，すなわちの時．
，すなわちの時．
の時
（この時常に）かつ，すなわちの時．
（この時常に）かつ，すなわちの時．

，すなわちの時

この時はは二つの実数解を持つ．またこの時(式2)より

である．従っての増減表は以下のようになる．



			極大		極小

表 1: の増減表．

従ってこの最大値がとなる条件は

であり，(式10)を代入して

である．よってと合わせて

である．

，すなわちの時．

この時は常にだからは単調増加で，はで最大値をとる．よってこの時題意の条件を満たす．

の時

だからは単調増加で，はで最大値をとる．よってこの時題意の条件を満たす．

（この時常に）かつ，すなわちの時．

この時はは二つの実数解を持つ．またこの時(式9)より

である．従っての増減表は以下のようになる．



			極小		極大

表 2: の増減表．

従っての最大値がとなる条件は

であり，(式10)を代入して

である．と合わせて求めるの条件は

である．

（この時常に）かつ，すなわちの時．

この時は(式9)よりがの範囲に入らないので，増減表は以下のようになる．



		極小						極大

表 3: の増減表（の時）．

従って区間内でだからは単調増加で，はで最大値をとる．よってこの時題意の条件を満たす．

以上の場合分けより，求めるの条件はである．

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【解答】

，すなわちの時

，すなわち の時．

の時

（この時常に）かつ，すなわち の時．

（この時常に）かつ，すなわち の時．

，すなわちの時．

（この時常に）かつ，すなわちの時．

（この時常に）かつ，すなわちの時．