東京工業大学 前期 1979年 第3問 (解答解説)

【解答】

簡単のためとおく．

(1)

新しく

とおくと，全てのについてである場合を考えれば良い． が恒等的にでないと仮定する．は次以下なので高々個のでしかとならない． それ以外のの時，(式1)に対して三角関数の合成を行って

と書ける．しかしこの右辺が任意の で0になることはないので に矛盾する． よって背理法により は恒等的に である．

(2)

与えられた方程式

を考える．まずを(式3)に代入すると

である．次に(式3)の両辺を で微分して

を得る．ここでが次以下なので，も次以下である． よって(1)の結果が使えて

である． (式6)の第二式の両辺を積分して(式4)と合わせて

となる．(式6)の第一式にこれを代入して

となる．(式7),(式8)はいずれも次以下の多項式でかつ(式3)を満たしており，よって求める関数は

である．