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東京工業大学 前期 1977年 解答解説 このページの閲覧数
#数列 #行列・一次変換
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東京工業大学 前期 1977年 第6問 (解答解説)

📝 問題

次の(a)(b)のいずれか一方を選んで解答せよ．

{ (a)} 数列が 関係 を満たしているとする． を満たす（ただし）があるとき，次の問に答えよ．

  1. を証明せよ．

  2. （はある整数）を証明せよ．

{ (b)} の形の 相異なる3個の行列からなる集合が，

条件：に属する任意の行列の積はふたたびに属する．

を満たすとき，次の問に答えよ．

  1. のとき，を求めよ．

  2. を定めよ．

✏️ 解答解説
（(a)(b)いずれか一方を選択する問題．(a)のみ解答あり．(b)は原稿は空欄）

【解答】

(a)-1

まず最初に任意の に対して となることを数学的帰納法で示す． 及び だから であり， の時， で成立する．

そこで以下 の時を考える．（）での成立を仮定すると漸化式より

となり でも成立する． したがって帰納法により，任意の に対して となる．

よってとすれば題意の主張 が従う．

(a)-2 (a)-1よりだから

とおける．漸化式に代入すると倍角公式により

と書ける．

また，より

と書けるから(式5)に代入して

と書ける．よって題意は示された．

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