東京工業大学 前期 1977年 第4問 (解答解説)

【解答】

題意より

である．新しく

とおくと，(式1)の元でとの大小を比較すれば良い． そこでの一階微分から挙動を調べる．

だから(式2)の両辺自然対数をとって

となり，この両辺をで微分すると

となる．

この右辺を とする：

一階微分を計算すると

である．(式1)よりで考えれば良いが，この時(式1)よりだから で は単調増加となる． これとの極限値が

であることからの増減表は以下のようになる．

従って の時 となる． これを(式6)に代入してと合わせて つまり は単調減少である． よって(式1)にも注意して増減表は以下のようになる．

以上から つまり，

である．