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東京工業大学 前期 1971年 解答解説 このページの閲覧数
#場合の数・確率 #数列
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東京工業大学 前期 1971年 第6問 (解答解説)

📝 問題

何回もくり返す試行において，ある回に事象が起こったとき次の回にもが起こる確率はであり， ある回にが起こらなかったとき次の回にもが起こらない確率はである． ただし，，は1より小さい正の数である．このとき，次の問に答えよ．

  1. 第回にの起こる確率をと書くとき，をで表せ．

  2. のとき，数列の極限値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

題意より

である．

(1)

回目にが起こって回目にもが起こる確率は， 回目にが起こらず回目にが起こる確率はだから 漸化式は

である．

(2)

まず漸化式(式3)を解く． 新しく

とおいて(式3)に代入して

である． 等比数列の公式から一般項は

である．(式1)よりだから，

が求める極限値である．

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