東京工業大学 前期 1971年 第3問 (解答解説)

【解答】

とおくと，題意より は3次以下の関数で，

を満たす．が２次以下ならとなるから， は3次関数である． これと(式1)の一つ目の式および因数定理から は を解に持つ． は3次方程式ゆえ高々3つの解しか持たないこととあわせて，

と表せる．ここで である． この時 だから(式1)の第二式に代入して を得るから，

である．

そこで以下題意のを考えよう．簡単のため , とおくと

のもとで，

が で最大値をとる をもとめれば良い． (式4)から だから(式5)に代入して

である． よりこれはの時に最大値をとる． よって求めるの値は である．