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東京工業大学 前期 1970年 解答解説 このページの閲覧数
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東京工業大学 前期 1970年 第3問 (解答解説)

📝 問題

絶対値1の個の複素数よりなる集合が次の2条件を満たしている：

  1. 1はの元（要素）である．

  2. ，がの元であるときもの元である． ただし，はの偏角とする．

このときであるようなをすべて求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

とし, の 個の要素を とする. さらに (i) より が の要素だから とする. (ii)で とすると も の元であるから， とする. 以上最低でも二つの元があるから である. よって題意のに絞ると，の3パターンについて調べれば良い．

1. の時

は (i), (ii) をみたす. よって十分である.

2. の時

の時はに加えてもう一つが要素として存在する． (ii) で とおくと,

が の元 のいずれかに等しい.

だから, とあわせて, が必要だが, はいずれも (ii)で or とすればそれぞれもの元となってしまい不適である．

3. の時

から が必要である. まず とすると (ii)で として, も の元である. よって は (i), (ii) をみたし十分である． の時も同じく, として を得る.

以上3つの場合分けから求めるは

である．

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