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東京工業大学 前期 1970年 解答解説 このページの閲覧数
#方程式・不等式 #平面図形
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東京工業大学 前期 1970年 第1問 (解答解説)

📝 問題

  1. ととが実数のときの最小値を求めよ．

  2. ，を適当な実数の定数とする．ある実数に対して，，座標が

    によって与えられる平面上の点は原点を中心とする半径2の円周上にあるという． ，の値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

与えられた式をについて整理すると

で，だから，を固定するとこれはの時に最小値

をとる．次にを動かすとこれは二次関数だからの時に最小値をとる， 以上から の時 をとる.

(2)

簡単のため

とおく．題意より

である．

一方では(1)で与えられた関数でとおいたものだから，(1)の結果より

である．同様にを下から評価すると

である．ただし等号成立はの時である． (式5),(式6)を(式4)に代入して

となり，等号が成立する． 従って (1)から である． (式6)にこれを代入して となる． 以上まとめて求めるの値は

である．

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