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東京工業大学 前期 1970年 解答解説 このページの閲覧数
#三角関数 #方程式・不等式
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東京工業大学 前期 1970年 第4問 (解答解説)

📝 問題

同じ円に内接する正辺形，正辺形，正辺形の面積を それぞれ，，で表わす． 不等式が成り立つのは がどんな値のときか．

✏️ 解答解説

【解答】

円の半径を として考えて良い．この円に内接する正 角形の面積 は, 図のように高さ，底辺の三角形が個あるとして計算できるから

とかける．

円に内接する正六角形とそれを構成する $k=6$ 個の三角形

図 1: 円に内接する正六角形とそれを構成する 個の三角形

正 $k$ 角形を構成する二等辺三角形

図 2: 正 角形を構成する二等辺三角形

従って題意の不等式に(式2)を代入すると

である．そこで以下(式5)を満たすを求める．

まずは(式5)の左側の不等号から考える． 簡単のため とおくと三倍角の公式から

だから(式5)の左側は

である． より両辺をで割って

がの条件である．

次に(式5)の右側の不等号を考える．倍角公式から

で， より両辺をで割って

がの条件である．

(式10),(式13)を満たすは

である．

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