東京工業大学前期 1971年第4問 (解答解説)

【解答】

簡単のためと書く．ただし

である．

のもとで () の軌跡をもとめる．のに関する対称性からまずで考える．はの2次方程式の(式2)をみたす2実解である．とおく．よりだから(式2)を満たすのは以下のいずれかである．

の判別式をとすると，この時の条件は

この時の条件は

である．

よって求める領域は(式3)または(式4)である．の時はとを入れかえれば良い．これを図示して下図斜線部（境界含む）である．

この領域の面積をの時に考えよう．この面積は以下のように3つの部分に分解して計算できる．

\begin is only supported in math mode\begin{align} S(\theta) &= \left(\text{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.1)}, scale=0.8] \fill[gray!20] (0,0) -- plot[domain=0:1] (\x, {\x*\x}) -- (1,0) -- cycle; \draw[thick] (0,0) -- plot[domain=0:1] (\x, {\x*\x}) -- (1,0) -- cycle; \node[below, font=\tiny] at (0,0) {$0$}; \node[below, font=\tiny] at (1,0) {$2s$}; \end{tikzpicture}}\right) + \left(\text{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.1)}, scale=0.8] \fill[gray!20] (0,0) -- (0,0.5) -- (0.8,0.8) -- (0.8,0) -- cycle; \draw[thick] (0,0) -- (0,0.5) -- (0.8,0.8) -- (0.8,0) -- cycle; \node[below, font=\tiny] at (0,0) {$2s$}; \node[below, font=\tiny] at (0.8,0) {$s+c$}; \end{tikzpicture}}\right) - \left(\text{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.1)}, scale=0.8] \fill[gray!20] (0,0) -- (0.8,0.8) -- (0.8,0) -- cycle; \draw[thick] (0,0) -- (0.8,0.8) -- (0.8,0) -- cycle; \node[below, font=\tiny] at (0,0) {$c$}; \node[below, font=\tiny] at (0.8,0) {$s+c$}; \node[right, font=\tiny] at (0.8,0.4) {$cs$}; \end{tikzpicture}}\right)\\[2mm]&= \int_0^{2s}\dfrac{1}{4}u^2 \, du + \dfrac{1}{2}(c-s)(s^2+cs) - \dfrac{1}{2}c \cdot cs \\[2mm]&= \dfrac{2}{3}s^3 + \dfrac{1}{2}s(c^2-s^2) - \dfrac{1}{2}cs^2 \\[2mm]&= \dfrac{1}{6}s^3 + \dfrac{1}{2}sc^2 - \dfrac{1}{2}cs^2 \end{align}

と計算できる．

次にの時は図3より同様に二つの部分から計算できて

\begin is only supported in math mode\begin{align} S(\theta) &= \left(\text{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.1)}, scale=0.8] \fill[gray!20] (0,0) -- plot[domain=0:1] (\x, {\x*\x}) -- (1,0) -- cycle; \draw[thick] (0,0) -- plot[domain=0:1] (\x, {\x*\x}) -- (1,0) -- cycle; \node[below, font=\tiny] at (0,0) {$0$}; \node[below, font=\tiny] at (1,0) {$\sqrt{2}$}; \end{tikzpicture}}\right) - \left(\text{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.1)}, scale=0.8] \fill[gray!20] (0,0) -- (0.8,0.8) -- (0.8,0) -- cycle; \draw[thick] (0,0) -- (0.8,0.8) -- (0.8,0) -- cycle; \node[below, font=\tiny] at (0,0) {$\sqrt{2}/2$}; \node[below, font=\tiny] at (0.8,0) {$\sqrt{2}$}; \node[right, font=\tiny] at (0.8,0.4) {$1/2$}; \end{tikzpicture}}\right)\\[2mm]&=\int_0^{\frac{\sqrt{2}}{2}}\dfrac{1}{4}u^2du - \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot\dfrac{1}{2}\\&=\dfrac{\sqrt{2}}{24} \end{align}

でこれは (式8)にを代入したものにひとしい．

またの時は対称性からとを入れかえれば良い．以上をまとめて求める面積は

である．

(1)での議論の通り，はに対する入れ替えに対して対称であるから題意は示された．数式的には(1)の結果でとすると

であるから示される．