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東京工業大学 前期 1971年 解答解説 このページの閲覧数
#方程式・不等式 #極限
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東京工業大学 前期 1971年 第5問 (解答解説)

📝 問題

  1. のとき，不等式が成り立つことを証明せよ．

  2. 次の極限値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

とおくと， で であることを示せば良い． 一階微分を計算すると

だから で は単調増加であり，

である．よって題意は示された．

(2)

簡単のため

および

とおく． まずは単調減少だからを下から評価すると

である．従っても正であり(式3)の両辺の対数をとると

である．

以下を評価しよう．(1)からの時

だから自然対数をとって

である． (式5)から だから， として(式8)に代入して

として両辺足し合わせて

である．(式6)に代入して

である． の時 だから，追い出しの原理より

である． は連続だから

が求める極限値である．

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