東京工業大学 前期 1972年 第5問 (解答解説) 📝 問題 曲線と原点からこの曲線に引いた接線および軸で囲まれた部分を， 軸のまわりに1回転して得られる立体の体積を求めよ． ✏️ 解答解説 【解答】 まずはに原点から引いた接線を求めよう． だから，点での接線は である．これが原点を通るのでを代入して となり，題意の接線は となる．よって題意の領域は下図斜線部になる． 図 1: および接線 ，軸で囲まれた領域（斜線部） 題意の体積 はを頂点とする三角形の回転体からに囲まれた領域の回転体の体積を減じたもので \begin is only supported in math mode\begin{align} V &= \left(\text{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.2)}, scale=0.8, >=stealth] \draw[thick] (0,0) -- (1,0) -- (1,0.8) -- cycle; \draw[->, thick] (0.5, 0.2) to[out=-90, in=180] (0.8, -0.25); \end{tikzpicture}}\right) - \left(\text{ \begin{tikzpicture}[baseline={(0,-0.2)}, scale=0.8, >=stealth] \draw[thick] (0,0) -- (1,0) -- (1,0.8); \draw[thick, domain=0:1, samples=30] plot (\x, {0.8*sqrt(\x)}); \draw[->, thick] (0.5, 0.2) to[out=-90, in=180] (0.8, -0.25); \end{tikzpicture}}\right)\\[2mm]&= \dfrac{1}{3}\pi e - \pi\int_1^e (\log x)^2 dx \\&= \dfrac{1}{3}\pi e - \pi\left[x(\log x)^2-2x\log x+2x\right]_1^e \\&= \dfrac{1}{3}\pi e - \pi\left(e-2\right)\\&= \pi\left(-\dfrac{2e}{3}+2\right) \end{align} である． 【解説】 の積分は部分積分を繰り返すことで以下の公式として考えられる． 特にが小さい時には以下のようになる．
