東京工業大学前期 1971年第2問 (解答解説)

【解答】

, とおく．だから一階微分はで，は具体的に

と書ける．以下任意のに対してが成り立つの条件を考える．(式1),(式4)を代入して

である．から両辺で割って，

を得る． (式8)の左辺はについて二次以下の方程式だから，この不等式が任意ので成り立つには，

が必要である．この等号が成立するかどうかで場合分けする． (式8)の左辺をとおく：

この時ははの二次方程式だから，(式9)が成立する条件はの判別式が以下であることである．実際にを計算すると

だから両辺で割って，

これが任意ので成立すれば良いので大括弧の中身が以下であれば良い．

③

仮定よりだから，

である．よりこれはの時成り立っている．すなわちならば題意の不等式は常に成り立つ．

(式9)で等号が成立する時，すなわち

の時，は

となる．従って任意のに対して(式8)は成立する．

以上二つの場合分けから，求める最小のは

である．