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東京工業大学 前期 1970年 解答解説 このページの閲覧数
#三角関数 #方程式・不等式
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東京工業大学 前期 1970年 第5問 (解答解説)

📝 問題

  1. を自然数とするときに対して 不等式が成り立つことを証明せよ．

  2. 関数は次の条件(a)，(b)を満たすとする：

    1. (a)　

    2. (b)　

    このとき，不等式が 成り立つことを証明せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

数学的帰納法で示す．まずの時与えられた不等式は

でこれは成立する． そこで以下 での成立を仮定して，で成立することを示す． 加法定理より

だから でも成立する. よって示された.

(2)

の時，(1)の不等式を下からさらに評価して

が成り立つ． 題意の条件よりだから，各辺にをかけると

だから，これをで積分して

である．ここで題意より

だから，(式7)を(式6)に代入して

となる．よって題意は示された．

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