東京工業大学前期 1969年第5問 (解答解説)

【解答】

簡単のため

とおくと，題意の方程式は

である．そこで以下の挙動を調べる．まず端点での値は

である．一階微分は

であり，題意より係数はだからはで単調増加である．また

である．よって増減表はの符号に応じて以下のようになる．



			極小

表 1: の場合のの増減表

表 2: の場合のの増減表

従って，はにたかだか一つの解しか持たず，のグラフの概形は以下のようになる．

以下題意について十分性と必要性に分けて証明する．

が，に唯一つの実根を持つとする．平均値の定理から

なるがある．これとが単調増加であることから，

である．よって十分性は示された．

と仮定する．であることとが単調増加であることと合わせて，中間値の定理よりを満たすがただ1つ存在する．およびであることから，極小値について

が成り立つ．

ここで区間ごとにの解の個数を考えると

以上より，のとき，方程式はにただ1つの実根を持つ．

以上二つの議論より題意が示された．