京都大学 前期 1986年 第6問 (解答解説)

【解答】

題意よりであり，図形は軸対称だから でもある． が にある時明らかに とはならないから， が にある時のみ考える． 円 の半径 とし， から軸への垂足 , , とおく () ．

まず題意からに三平方の定理から

である．または，より

を満たす．

次にをふた通りで表して

である．

このもとで題意の面積（上図の斜線部）を求めよう．これは

であり，各項個別に計算すると

だから(式7)に代入して

である．以下で動かした時のの最大値を求める．

(式11)をだけで表す．(式2),(式4)より

だから(式1)に代入して

である．(式13),(式14)を(式11)に代入して

を得る．両辺で微分して

および

だから は単調減少である．これと からの増減表は以下のようになる．

よって は で最大値

をとる．

【解説】