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京都大学 前期 1986年 解答解説 このページの閲覧数
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京都大学 前期 1986年 第2問 (解答解説)

📝 問題

座標空間において，平面上に一辺の長さが1の正三角形がある． 点，，から平面におろした垂線の足をそれぞれ，，とする． 動点はからの方向へ出発し，一定の速さでの周を一周する． 動点は同時にからの方向へ出発し，と同じ一定の速さでの周を一周する． 線分が通過してできる曲面と，によって囲まれる立体をとする．

  1. 平面 によるの切り口はどのような図形か．

  2. の体積を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

三角柱 $ABC-DEF$ と動点 $P, Q$

図 1: 三角柱 と動点

底面 $DEF$ の座標

図 2: 底面 の座標

題意よりとおくと，である．

(1)

の速さを秒速としてまず時刻をとしてかんがえる． この時時刻でははをに，はをに内分するので

となり， との交点はの内分点で，この点をとして

である．これはを動かすと直線を表し，の時にそれぞれ

だから，の切断面で下図のように点を定めると，の内分点との内分点を結ぶ直線上を動く．

$P$ が $AB$ 上，$Q$ が $EF$ 上にあるときの$z=a$での切り口の辺

図 3: が 上， が 上にあるときのでの切り口の辺

対称性からが他の辺上にある時も考えれば，での切り口は下図のような 一辺 の正三角形になる．

切り口の正三角形 $R_0R_1R_2$

図 4: 切り口の正三角形

動く線分 $PQ$ と高さ $z=a$ の切り口

図 5: 動く線分 と高さ の切り口

(2)

(1)の結果から， での切り口の面積は 一辺 の正三角形の面積で，

である．従って求める体積はこれをからまで積分して

である．

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