京都大学後期 2004年第1問 (解答解説)

【解答】

新しく

とおくと，のグラフはのようになる．

新しく実数を

の二つの解とし，とする．二次方程式の解の公式から

であり，のとき

が極限値となる．

また，を

で定める．のでの極限値を求めれば良い．

グラフおよびの定義から, を明示的に書き下すと

である．ただし，最後の行でがを軸に対称なので二つの積分が等しくなることを利用した．をの原始関数

とすると，

である． (式11)を代入すると

だから，以下各項のでの極限値を求める．

だから，二つ目の極限値は

となる．従って，(式14)に代入すると

が求める極限値である．(答)

今回の解答では，対称性を利用して評価する量を減らしたり，極力を用いた見通しの良い変形を行うことで，計算量の少ないものとした．

このような工夫は，以下のような問題の図形的解釈がわかっていれば素直に発想できるだろう．の時，との交点がそれぞれに近づくが，この時

がどう振る舞うか，というのが問題である．すなわち，積分区間はほぼに近づくだが，一方で全体にがかかっているので，そことの勝負ということになる．この構造がわかっていると，を使ったまま全体を見通しよく式変形できる．

ちなみに，高校範囲ではこの程度の解答が限界だが， (式12)以下，大学数学の範囲のTaylor展開を利用すればさらにエレガントに解くことができる． Taylor展開とは，適切な条件を満たす関数に対して

のような展開のことを指す．これをのでの展開に用いると

と展開できるから，(式12)に代入すると

となる．ここでだから1項目はであり，残りの部分は解答中の極限評価を利用して

である．今回の問題の場合，このようにの二回微分までの評価が必要なので大学数学の範囲が必要になる，というのがポイントだろう．