京都大学 後期 2004年 第6問 (解答解説)

【解答】

対称性から，題意をみた正方形のうち第一象限にあるものをとして

である．第一章限の様子を図1に示す．

また， は で単調減少だから

である．ここではガウス記号であり，以下の最大の整数を表す． ガウス記号の性質から

である． だから両辺で割ると

について和を取って

ここで両辺の和のでの極限値は区分求積法によって評価でき，

だから，はさみうちの定理より， のとき

(式1)，(式9)から

が求める極限値である．(答)

【解説】

解答がになるのはもっともらしい． なぜならば，を大きくしていくと敷き詰めた正方形の面積と円の面積はほぼ等しくなるため， 正方形の面積の合計はに近づくはずである．従ってこれをで割った極限値がになる． これで，解答があっていそうだというのが直感的に理解できる． 実際に問題を解いている際もこうした極端な場合を考えることで，答えを大はずししていないかわかるため 極限を考える癖をつけておくと良いだろう．