東京工業大学 前期 2006年 第4問 (解答解説)

【解答】

各点の位置ベクトルを対応する小文字で表す．題意より

である．

(1)

(式1)を用いて題意の内積を計算すると

となり題意は示された．

(2)

6つの辺の長さをとおく．4つの面はそれぞれ3辺の組

を持つ．全ての面が互いに合同なので，これらの3辺の組はすべて等しい：

とは辺（長さ）を共有しているから残りの2辺が一致する：

同様に，は辺を共有するので，は辺を共有するので．これら3つの関係を同時にみたす組合せは

のみであるから，

である．よって題意は示された．

(3)

(2)より対辺が等しい四面体なので，，，である．このような（対辺が等しい）四面体は直方体の4頂点として実現できる．直方体の辺の長さをとし

とおくと

となり，与えられた長さから

とすれば良い．実際辺々を加えると，すなわちだから

とすれば実現できる．

四面体の体積は対称性より四面体の面積のである．四面体の体積はを辺とする直方体から体積の同じ4つの三角錐を取り除いたもので，その体積は

であるから，四面体の体積は

である．

【別解】

行列式の知識があれば以下のように計算するのが一番機械的だろう．

(式17)以下，の座標はそれぞれの中点だから

となる． を基準にすると

であるから，四面体の体積は

ここで

（第3列で展開した）．よって