東京工業大学前期 2006年第1問 (解答解説)

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【解答】

与えられた数列

について考える．自然数に対して新しく

とおく．は周期を持ち，この区間での値はまたはでのの値に一致するので

が成り立つ．

従って(式1)は

である．

であるから，示すべき不等式は

と同値である．左右の不等号を別々に示す．

とおいてを示す．区間の両端での値は，であり，一階微分は

となる．これはは単調減少であり，をみたすを境に符号がからに変わる．よっての増減表は以下のようになる．

従って区間全体で，すなわちであり(式5)の左側の不等式は示された．

とおいてを示す．一階微分は

と非負だからは単調増加であり，よって区間では

である．従ってであり右側の不等号は示された．

以上で(式5)，従って題意は示された．

まず題意の不等式の積分においてと置換すると

であるからこれを示せば良い．

題意よりが奇数なので

と表せる．ガウス記号の性質より

とおける．

(式10)の積分を

とおいて，これを変形すると(式4)を用いて

となる．(1)と同様の周期性よりだけ積分区間を移動してよく，

である．(式12)よりだからここに(2)の不等式を代入して上下から評価すると

である．(式12)を代入して

を得る．これは(式10)に他ならないから，(式10)が示された．よって題意は示された．

(2)の途中で出てきた不等式はジョルダンの不等式と呼ばれる．図形的に示すとわかりやすい．