東京工業大学 前期 2006年 第3問 (解答解説)

【解答】

点を原点とする． 3個の円板をとして回転しての中心に固定してよい．方程式は

となる． の中心は単位円上にあるので偏角をとおく． 対称性からは上半面にあるとしても一般性を失わないから

とする． 最後のはよりも偏角が大きいとして一般性を失わないから

とおく． 条件(b)を満たすようなの範囲について考えよう． まずの時はとは以外にも上半面に共有点を持つ．従ってこの領域でがと共有点を持ってはいけないから円の中心が下半面になくてはならず，

である． この時ならとは必ず下半面で以外の共有点を持つからがと下半面で共有点を持ってはならず，の原点対称な点（偏角）よりもの偏角が小さくないといけない：

従って条件(b)を満たすの条件は

である．この時以外では最大二つの円盤しか共通部分を持たない．

さて，中心間の偏角の差が（）である2つの単位円板の共通部分の面積をとする． 2円の中心間距離はなので図よりこの面積は

である．

の偏角はそれぞれ（）なので，これらを結ぶ3つの弧の中心角は

である． 3円板の和集合の面積は，3円の面積の和から2円ずつの重なりを引けば得られるから

と書ける．(式10)を代入して

である． 和積公式から

だから代入して

を得る． (式2),(式6)の元でこの最大値を求めれば良い． まずを固定してを動かす． (式2),(式6)より

である．

および上図から，の時には最大となり

をとる．これをとおいて，次にを動かす． 一階微分は

だからの増減表は以下のようになる．

従ってはで最大値をとり，その値は

である．

【解説】

が最大値の時，，となるから，3つの弧の中心角は

となり，3つの中心がのまわりに正三角形状に等間隔配置されるときに最大値が実現される．