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東京工業大学 前期 2006年 解答解説 このページの閲覧数
#微分 #積分
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東京工業大学 前期 2006年 第2問 (解答解説)

📝 問題

以下の問いに答えよ．

  1. ，を正の定数とし，とおく． における関数の増減を調べ極値を求めよ．

  2. を正の定数とし，座標平面において条件

    (a)　

    (b)　すべてのに対し

    を満たす点からなる領域をとする．の概形を図示せよ．

  3. (2)の領域の面積を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

とし（）とすると

だからの増減表は以下のようになる．

極小

表 1: の増減表

従ってはで極小値

をとる．

$g(t)$（$t>0$）の概形

図 1: （）の概形

(2)

とする．条件(a)よりだから条件(b)は(1)でと置き換えて

である．これが全てので成り立つためには

であればよく，(1)よりだから

である．より両辺にをかけて

である．は単調増加関数だから

である．これと一つ目の条件を合わせて，求める領域は

である．

$y = g(t)$（$a,b \to x,y$）と直線 $y = m$ の関係

図 2: （）と直線 の関係

そこでこの右辺の形を調べよう．一階微分は

より増減表は以下のようになる．

（極大）

表 2: の増減表

従ってグラフの概形およびの領域は下図の斜線部である．境界は実線のみ含む．

領域$D$（斜線部，境界は実線のみ含む）

図 3: 領域（斜線部，境界は実線のみ含む）

(3)

領域の面積はのでの積分から，底辺，高さの三角形の面積を引いたもので

である．

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