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東京工業大学 前期 2007年 解答解説 このページの閲覧数
#三角関数 #積分 #極限
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東京工業大学 前期 2007年 第2問 (解答解説)

📝 問題

正数に対して，放物線上の点における接線を，を中心に回転した直線をとする． ととの交点ででない方をとする． さらに点を，原点をとする．

  1. の式を求めよ．

  2. 線分，とで囲まれる部分の面積を， 線分とで囲まれる部分の面積をとする． このときを求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

点 $A$ を中心とする $-30^\circ$ の回転の様子

図 1: 点 を中心とする の回転の様子

におけるの接線はである． この接線をを中心に回転した直線がである．上の点を回転すると接線上の点に戻るから

であり，これが接線上の点であることから，すなわち

である．

整理すると，の方程式は

である．

(2)

放物線 $y=x^2$ と直線 $l$ で囲まれる領域 $T(a)$ および領域 $S(a)$

図 2: 放物線 と直線 で囲まれる領域 および領域

(式3)との交点の座標は，を(式3)に代入したの二次方程式

の解である．一方は（点）だから，解と係数の関係より，他方の解（点の座標）は

である．

従って，まず直線との囲む面積は

式

である．

一方，線分，とで囲まれる面積はの積分で

である．

よってこれらの比は

である． のとき括弧内はに収束するから求める極限は

である．

【別解】

(1)

回転がなので，の加法定理を使って傾きを計算する方法も考えられる． 元の接線の傾きを，の接線の傾きをとすると

だから，

となり，求める直線はを通るから

である．

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