東京工業大学前期 2008年第2問 (解答解説)

【解答】

の元で考える．の定義から

である．として

である．

さて，新しく

とおく．(式2)の各項はが十分大きければ正だから

である．を考えるのでとしてよく，両辺にをかけると

である．この両辺の次数はか否かで異なるので場合分けして考える．

(式6)の分子・分母をで割ると

であり，両端の係数はともにで（）に収束する．従っての収束・発散によって挟み撃ちの定理よりの収束値は以下の用に変化する

従ってが収束するの最大値はで，その時の収束値はである．

この時はである．天井関数の性質よりだから，であり，

と書ける． (式2)よりである．が十分大きければこれらは全て正だから

である．をかけて

である．両辺の分母分子をで割ると

である．両辺の係数はでいずれもに収束するから，挟み撃ちの定理によって，の値に応じて以下のように収束値は変化する

従ってが収束するの最大値はで，その時の収束値はである．

以上の議論より，求める答えは

である．

の時は不等式の評価をより厳しくできるというのが肝である．