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東京工業大学 前期 2008年 解答解説 このページの閲覧数
#平面図形 #図形と方程式
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東京工業大学 前期 2008年 第4問 (解答解説)

📝 問題

平面の原点を端点とし， 軸となす角がそれぞれ，(ただし)である半直線を，とする． 上に点，上に点を線分の長さが1となるようにとり， 点を，直線に対し原点の反対側にが正三角形になるようにとる．

  1. 線分が軸と直交するとき，点の座標を求めよ．

  2. 2点，が，線分の長さを1に保ったまま，上を動くとき， 点の軌跡はある楕円の一部であることを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

線分 $PQ$ が $y$ 軸に平行なときの正三角形 $\triangle PQR$ と点 $R$ の位置

図 1: 線分 が 軸に平行なときの正三角形 と点 の位置

原点をとする．線分と軸の交点をとすると，およびだからとなる．は軸上にあってよりも座標が大きいから求める座標は

である．

(2)

与えられた半直線の方程式は

である．

はの上にあるから，媒介変数として, を用いて

とおける．題意の条件より，に課せられる条件はに余弦定理を用いて

である．

$L_1,L_2$上の$P,Q$と正三角形$PQR$

図 2: 上のと正三角形

PQの中点をMとする．だから，，およびが直線に関してと反対側にあることから

となる．

だから，は

である． よってとおくと

である．

さてここで

はのときいずれもではないから(式10)より

である． ここで，だから，(式5)に(式12)を代入して

これはに関する楕円の方程式だから，がを保ちながら動くときの点の軌跡はこの楕円の一部である．よって題意は示された．

【解説】

(2)の一般の議論から先に初めて，(1)はその特殊な例とした方が解答自体は簡単だろう． (式10)においてとなるケースを考えれば良い．(式5)にを代入して

だから，(式10)に代入して

であり，これは解答と一致する．

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