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東京工業大学 前期 2008年 解答解説 このページの閲覧数
#微分 #積分 #極限
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東京工業大学 前期 2008年 第1問 (解答解説)

📝 問題

正の実数，に対し，で定義された2つの関数とのグラフが1点で接するとする．

  1. 接点の座標をを用いて表せ．また，をの関数として表せ．

  2. をみたすに対し，直線および2つの曲線，で囲まれる領域の面積をとする． をで表せ．

✏️ 解答解説

【解答】

として与えられた関数を

とおく．一階微分は

である．

(1)

接点をとすると，，が成り立つから(式1),(式2)より

である．(式3)の第2式から

である．これを(式3)の第一式に代入して

である．(式4),(式5)をまとめて

である．

(2)

を考えるので，が接点の座標よりも小さい場合を考えれば良い． この時，, のグラフは下図であり，求める面積は斜線部である．

2曲線 $y=f(x), y=g(x)$ の接点 $P(s,t)$ と直線 $x=h$ で囲まれる領域 $A(h)$（斜線部）

図 1: 2曲線 の接点 と直線 で囲まれる領域 （斜線部）

従って

となる． に依存するのは最初の大括弧の項のみである． のとき，より，またよりなので大括弧の項はに収束し

である． (式6)を代入すると

である．

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