アーカイブ一覧へ戻る
東京工業大学 前期 2009年 解答解説 このページの閲覧数
#微分 #積分
前の年度 2008年 次の年度 2010年
🧭 2009年度の関連ナビゲーション:
📊 0 (サマリ) 第1問 (問題) 第1問 (解答) 第2問 (問題) 第2問 (解答) 第3問 (問題) 第3問 (解答) 第4問 (問題) 第4問 (解答)

この問題のOpen Issue（0件）

GitHubで確認 ↗

この問題に紐づくOpen Issueはありません。

情報取得：。最新の状態はGitHubで確認できます。

東京工業大学 前期 2009年 第1問 (解答解説)

📝 問題

点から放物線へ2本の接線が引けるとき， 2つの接点を，とし， 線分，およびこの放物線で囲まれる図形の面積をとする． ，が直交するときのの最小値を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

放物線を，接点を，（）とおく．だから2接線は軸平行ではなく，方程式は

とおける．すなわちの時は傾きの積がだから

である．

さて，の交点の座標は(式1)の二つの式を連立して

である．よって放物線と接線の概形は以下のグラフのようになる．

放物線 $y=\dfrac{1}{2}x^2$ への2本の直交接線 $l_A, l_B$ と囲まれる面積 $S$

図 1: 放物線 への2本の直交接線 と囲まれる面積

放物線は自身の接線より常に上にあるから題意の面積は

式

と書ける．(式2)の元でこの最小値を求めれば良い． (式2)よりを消去すると

であり，に代入して

である．(式9)に(式10)を代入して

となる．(式11)よりだから，相加相乗平均の不等式より

で等号成立はつまり，(式2)よりである． この時は最小値

をとる．

この解答の誤りや分かりにくい点に気づきましたか？ GitHubで報告する