東京工業大学 前期 2009年 第4問 (解答解説)

【解答】

の方向ベクトルはである．

(1)

点を通りと垂直な平面は，法線ベクトルを持つから

である．これと平面（）との交線はを代入して

である．

(2)

領域は図示すると下図斜線部である．

上になる点（）をとる．を通りと垂直な平面による回転体の切り口を考える．この平面と平面の交線は(1)からであり，与えられた領域との様子は以下のようになる．

ここで直線と放物線が交わるためには，連立したの二次方程式：

が実数解を持てばよく，判別式が以上であれば良いから

である．このもとで領域内にある交点の座標は(式4)の解で

だが，領域はなので，複合負をとって

である．これがを満たすので

である． 以上からの座標は

である．

次に直線と直線の交点の座標は連立して

だからの座標は

である．これがを満たすの条件は(式8)と全く同じである．

で放物線と切断面がで接するから，領域と切断面の共有点の端点は常にである． 従って領域を周りに回転させた立体の平面による切り口は，半径半径からまでの円環になる．よってとを(式9),(式11)から計算すると

である．

よってこの平面での立体の断面積は(式15),(式18)より

である．

は平面を指定するパラメータであり，の単位方向ベクトルはなので，線素は

であり，の範囲(式8)に注意して求める体積は

である．各項計算すると

だから(式26)に代入して

が求める体積である．