東京工業大学 前期 2010年 第4問 (解答解説)

【解答】

とする．, とおくと，

である．半直線上の点がを満たす時，

なる実数に対して

とおける．

題意の条件は，この範囲のすべてのに対して

が成り立つことである．，だから，(式5)に代入して（より）

である．

両辺とも非負なので2乗して整理すると

である．

のとき(式8)は自明に成立するから，でが成り立てばよい．はの1次以下の式（線形）だから，区間上でとなるための必要十分条件は両端点でとなることである．従って条件は

である．

最後におよびつまりだから，これら点を除外すればよく，求める領域は

すなわち，とを直径の両端とする円の外部（境界は含むが，，の2点は除く）． これを図示すると下図斜線部（ただし白丸は除く）である．