東京工業大学 前期 2010年 第2問 (解答解説)

【解答】

方程式

の右辺はガウス記号の性質およびより自然数だから，解もまた自然数である． そこで解を（）とおける．ガウス記号の性質から

である．従って(式4)を満たすような自然数が存在すればそれが(式1)の解である．

以上をまとめて，

である．

(2)

(式4)について検討するため，とする．

の時，

だから，が自然数であることに注意して(式4)に代入すると

である．そこで左辺について考える．

以上より(式4)が解を持たないのは（）と表せるときであり，一般に

である．従ってとして

である．

(3)

第項までの和を

とおくと，このの極限を求めれば良い． (式18)を代入すると

が求める極限値である．