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東京工業大学 前期 2010年 解答解説 このページの閲覧数
#微分 #積分
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東京工業大学 前期 2010年 第1問 (解答解説)

📝 問題

とする．

  1. において，は唯一の解を持つことを示せ．

  2. とする． (1)の唯一の解をとするとき，をの式で表せ．

  3. (2)で定義されたとの大小を比較せよ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた関数

について考える．

(1)

一階微分を計算すると

である．よっての増減表は以下のようになる．

（極小）

表 1: の増減表（）

かつでは単調減少だからに解はなく，ではがからへ単調増加するので中間値の定理よりただ1つの解を持つ．よってではただ1つの実解を持つ．以上で題意は示された．

$f(x) = 1 - \cos x - x\sin x$（$0 \le x \le \pi$）の概形と解 $\alpha$

図 1: （）の概形と解

(2)

(1)よりで，でだからは

と書ける． の原始関数の1つをとする：

であり，，だから(式3)に代入して

である． さて，はを満たすから(式1)より

である．(式10)を(式9)に代入して

である．

(3)

新しく

とおいて，この正負を考えれば良い． (式12)を代入して

さて，に(式10)を代入すると

である． よりなので，両辺をで割って

を得る．

(式17)を(式14)に代入すると

である．

さて，(1)の増減表と

より，は

を満たすから，(式19)は下から評価できて

だから(式13)より

である．

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