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東京工業大学 前期 2011年 解答解説 このページの閲覧数
#積分
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東京工業大学 前期 2011年 第2問 (解答解説)

📝 問題

実数に対して

とおく．

  1. 関数の最小値を求めよ．

  2. 定積分を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

まずはを求めよう． 被積分関数の絶対値の中身を

とおくと，だから

である． でだからこの符号はの時自明に正であり，の時は以下のようになる．

  1. の時　でより，よってとなる．

  2. の時　にとなるがただ1つ存在し，で，でとなる．

以上より，の被積分関数の絶対値を外すと

となる． の原始関数の1つとして

があるから，これを用いて

である．各項計算すると

だから(式6)に代入して

である．これを図示すると下図のようになる．

関数 $y = f(x)$ のグラフ

図 1: 関数 のグラフ

(1)

(式14)よりではは単調減少で最小値は

である．

ではは相加相乗平均より

となる．等号成立はでこれはをみたす． 従ってこの区間での最小値は

である．これはよりも小さい．

以上からの最小値は

である．

(2)

(式14)より積分を計算すると，

である．

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