東京工業大学 前期 2012年 第2問 (解答解説)

【解答】

(1)

題意の和をとおくと

と変形できる．ここでは整数であり，かつの形でかけないことからの桁数と

の桁数は一致する．そこで以下の桁数を考えよう．これをとおくと

であり，各辺正だから常用対数をとって

を得る．

は単調増加関数でありだから

となり，これは常にの範囲にあるから，(式7)をみたすはのみである． 以上からすなわちは桁である．

(2)

自然数が与えられた時，自然数を用いて

と必ず表せる．この時各辺の平方根をとって

だから，ガウス記号の定義から

である．

従って題意のがの約数となるのは，がの約数となる時であるからこれを考えよう． ここで2以上の自然数に対して

だから，(式9)の範囲でがの約数となるのはを固定してを動かして考えると

である． の時は常にはの約数で，(式9)よりこの時はとなり，の通りである．

考えるの最大値はだから，も単体で条件を満たす．

以上からについては各々通りずつ，についてはの通りのみ（範囲がで打ち切られるため）だから 求める個数は

である．

【別解】

(1)

の各辺にを加えて整理すると

である．ここでだから

である．は単調増加だから

を得る．従ってすなわちは桁である．