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東京工業大学 前期 2012年 解答解説 このページの閲覧数
#ベクトル #場合の数・確率
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東京工業大学 前期 2012年 第1問 (解答解説)

📝 問題

  1. 辺の長さが1である正四面体において 辺の中点を，辺の中点をとする． 2つのベクトルととの内積を求めよ．

  2. 1から6までの目がそれぞれの確率で出る さいころを同時に3個投げるとき，目の積が10の倍数になる確率を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

正四面体 $OABC$ とベクトル $\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{DE}$

図 1: 正四面体 とベクトル ,

を原点として考えて，点に対して小文字を用いて

とおく．すると正四面体の性質より，各面は辺の長さの正三角形であり

である．

はの中点，はの中点だから

なので，これらの内積をとって

式

である．

(2)

以下のように事象を定める．

  1. 　3回とも偶数の目が出ない（目がのみ）

  2. 　3回ともが出ない（目がのみ）

  3. 　，すなわち3回とも目がのみ．

さて，目の積が10の倍数（の倍数かつの倍数）にならない事象を考えると，この事象はで表される．従って求める事象の確率は

で求められる． さて，について発生する確率はそれぞれ

だから，包除原理よりによって

だから，(式9)に代入して求める確率は

である．

【別解】

(2)

サイコロがつだけなので直接数え上げても解ける．以下の3パターンに分けられる．

  1. の倍数がつ，の倍数がつ，残りがか．

  2. の倍数がつ，の倍数がつ．

  3. の倍数がつ，の倍数がつ．

それぞれ数え上げると

通りだから，求める確率は

である．

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