東京工業大学 前期 2013年 第1問 (解答解説)

【解答】

(1)

の2解をとすると解と係数の関係より

である．新しく

とおくと，(式1)よりの漸化式は

である．また，の時

である． 以下項づつの数学的帰納法によりすべての正の整数でであることを示す．

まずの時，(式6)より

より成立する．

そこで（）での成立を仮定する． (式5)より

だが，仮定よりで，かつはの倍数だからもの倍数である．よってでも仮定が成立する．

以上より数学的帰納法によりすべての正の整数ではの倍数である．

(2)

4種類の目が出る場合，6個の出目の内訳（重複度の分割）はまたはの2パターンに限る．6個のさいころを区別すれば全事象は通りで同様に確からしい．

以上より，求める確率は

である．