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東京工業大学 前期 2013年 解答解説 このページの閲覧数
#微分 #指数・対数
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東京工業大学 前期 2013年 第3問 (解答解説)

📝 問題

を定数とするとき，方程式の異なる正の解の個数を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた方程式の正の解の個数は，平面上の二つのグラフ

の交点の数に等しい．そこでの挙動を調べよう． 一階微分は

だからの時

である．ただし最後は両辺の自然対数をとった．ここで(式6)の左辺をとおく：

と一階微分は

だからの増減表は以下のようになる．ただし，の解は

の二つがあることを用いた．増減表からこれ以外の解は存在しない．

極小

表 1: の増減表

従って，(式6)からとなるのはの時で，の増減表は以下のようになる．

表 2: の増減表

よってのグラフの形状は以下のようになる．

$y=f(x)$ のグラフと直線 $y=k$ の交点

図 1: のグラフと直線 の交点

グラフからとの交点の個数（求める解の個数）は次のようになる：

個個個個個個
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