東京工業大学 前期 2013年 第2問 (解答解説)

【解答】

（原稿の解答は「[解]」のみで中断していたため，以下は独立に与える完全な解答である．）

(1)

，とすると

より

(2)

，とする．ケイリー・ハミルトンの定理より

(1)より．一方よりだから．は実数だから

①はとなる．この漸化式を用いてをで表すと

より

がスカラー行列（，は実数）の場合，より，は実数だから，すなわち．このとき（と合わせて，これは1つの解である）．

がスカラー行列でない場合，は1次独立だから，②より

が同時に成り立つ必要がある．と因数分解でき，または．をに代入するととなり不適．（）のとき，なので

となり成立する．よっての2解

が非スカラーの場合の解である（これらはの固有値がの原始乗根の共役対，となる場合に対応し，，として実際に実現される）．

以上より，は常に成り立ち，

のいずれかである．