東京工業大学 前期 2014年 第2問 (解答解説)

【解答】

(1)

のとき，から題意の不等式は

である．この左辺をとおくと，一階微分は

だからは単調増加である． 従ってのときであり(式1)が成立する． よって題意は示された．

(2)

とおくと(1)同様，でであるようなの範囲を求めれば良い． とおくとの一階微分は

となる．だからこの正負は大括弧内の正負で決まる．は下に凸な関数であり，での接線を考えた不等式

を考えることで以下のように正負がわかる．

まずのとき，よりではだから(式6)は非負である．すなわちでは単調増加だからに対してとなる．

一方でのとき，なる十分小さいでとなる．したがって(式6)よりとなるが存在し，から出発しては減少するのでとなるが存在する．

以上から，求める条件は

である．