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東京工業大学 前期 2014年 解答解説 このページの閲覧数
#微分 #積分 #数列
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東京工業大学 前期 2014年 第5問 (解答解説)

📝 問題

平面上の曲線を考え，上の点をとする． に対して， 点におけるの接線との交点のうちで と異なる点をとする． このとき，とを結ぶ線分とによって囲まれた部分の面積をとする．

  1. を求めよ．

  2. をを用いて表せ．

  3. を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

まずはの一般項を求める．

とおくと，一階微分は

だからの増減表は以下のようになる．

（極大）（極小）

表 1: の増減表

従ってグラフの概形は下図のようになる．

$y = f(x) = x^3+x^2+1$ の概形

図 1: の概形

増減表からはで極大値，で極小値をとる．

さて，点におけるの接線は(式1),(式2)より

である．との共有点の座標のうちでないものを求める．それはの解である．

はを重解に持つから，の形に因数分解できることを念頭に変形して

である．

接線 $l_{k-1}$ と 3 次曲線 $C$ で囲まれる面積 $S_k$

図 2: 接線 と 3 次曲線 で囲まれる面積

題意の面積は

である．

(1)

題意よりだからである． (式6)に代入して

だから，(式9)に代入して

である．

(2)

(式6)を初期条件の元でとけば良い． (式6)を変形して

だから，は公比の等比数列で， だから

である．

(3)

(式16)より

だから，(式9)に代入して

である．よって

であり，等比級数の和の公式から

が求める極限値である．

【解説】

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