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東京工業大学 前期 2014年 解答解説 このページの閲覧数
#図形と方程式 #積分
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東京工業大学 前期 2014年 第4問 (解答解説)

📝 問題

点がを満たしながら平面上を動くときに， 点を原点を中心として回転した点の軌跡として得られる曲線をとする． さらに，曲線と軸で囲まれた図形をとする．

  1. 点の座標を，を用いて表せ．

  2. 直線と曲線がただ1つの共有点を持つような定数の値を求めよ．

  3. 図形を軸のまわりに1回転して得られる回転体の体積を求めよ．

✏️ 解答解説

【解答】

(1)

題意から，複素数平面上で回転を考えると

であり，は実数だから係数を比較して

である．

(2)

(式2)のは下に凸なの二次関数であり，平方完成すると

だから，はで最小値

をとる．が下に凸なの二次関数だから，直線が曲線とただ1点で交わるのはこの最小値の位置：

である．

$y = g(t) = t^2 - \dfrac{\sqrt{2}}{2}t$ の概形と最小値 $a = -\dfrac{1}{8}$

図 1: の概形と最小値

(3)

(式2)よりである．グラフの概形は以下のようになる．

曲線 $C$ と $x$ 軸で囲まれる領域 $D$（斜線部）と左右の枝 $x_\pm(y)$

図 2: 曲線 と 軸で囲まれる領域 （斜線部）と左右の枝

従っての部分がグラフと軸で囲む領域の境界を与え，で（左側の枝），で（右側の枝）を与える．

を軸のまわりに回転した体積は

と書ける． (式2)より

であり，も代入して

なので，(式8)に代入して

だから

である．

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