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東京工業大学 前期 2014年 解答解説 このページの閲覧数
#整数 #数列
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東京工業大学 前期 2014年 第1問 (解答解説)

📝 問題

3以上の奇数に対して，とを次のように定める．

  1. とはどちらも整数であることを示せ．

  2. は4の倍数であることを示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

題意から（）とおける． まずの和を計算する．

を用いて

であり，ついでをを用いて表すと

である．

(1)

(式3)においては連続4整数の積だからで割り切れるので，分母は必ずキャンセルされてである．

次に(式5)においても連続2整数の積だからで割り切れるので，分母は必ずキャンセルされてである．

(2)

を(式3)に代入して

だからをで表すと

である．

ここでは連続3整数の積だからで割り切れるから整数を用いてとおけるから(式10)に代入して

よりはの倍数である．

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