東京工業大学 前期 2013年 第4問 (解答解説)

【解答】

の範囲で考えよう．この時自然数に対して

であり，となる条件は非負の整数を用いて

と表せる． これをについて解くと

である．が題意の条件を満たすとは，(式4)なる非負整数が存在することと同値である．

さて，が与えられた時(式4)の表す区間をとおく．(式4)なるが存在するための必要条件として区間が空でない条件は

である．は非負の整数だから

である．この範囲でをで動かした時にはは(式1)の範囲に含まれる． 以上から，の範囲の長さをとして求める長さは

である．(式4)を代入して

である．これを(式8)に代入して

だから，の極限をとって

である．