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東京工業大学 前期 2012年 解答解説 このページの閲覧数
#数列 #極限
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東京工業大学 前期 2012年 第4問 (解答解説)

📝 問題

を正の整数とする． 数列を

によって定める．

  1. およびを求めよ．

  2. 一般項を求めよ．

  3. とおくとき， を示せ．

✏️ 解答解説

【解答】

与えられた漸化式

について考える．

(1)

(式1)にを順に代入すると

および

を得る．

(2)

数学的帰納法により

であることを示す． のときは(1)よりと一致して成立する． そこで（）なる全てので成立すると仮定する．するとの和

は

と計算できるから，(式1)の漸化式に代入しては

となり，これはでも(式8)が成立することを示す．よって数学的帰納法により，すべてので

である．

(3)

について考える．

自明な関係式の逆数をとって，(式8)より

だから，について和をとって(式17)を代入すると

である．

さて，両端の和はとすると区分求積法により

だから，両方に収束する．従って(式20)において挟み撃ちの原理より

である．

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