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【解答】
一辺の長さ1の正方形と，と交わる直線を考える．を軸にを回転してできる回転体の体積をとする．
(1)
を固定された方向（のどの辺にも平行でない）とし，はに平行でと交わる直線とする．の方向を軸，それと垂直な方向を軸とする直交座標をとり，をと表す．を座標で見ると，がどの辺にも平行でないから，各（が存在する範囲）に対しての方向の切り口はちょうど1つの区間（）になる．がと交わるの範囲は，ある区間であり，，がちょうどがと1点のみで交わる場合（の一つの頂点でが支持線となる場合）に対応する．
のまわりの回転体の体積は，各での切り口を回転して得られる円板・円環の面積を積分して
ただしは次で与えられる（と略記）：
（のとき，切り口の区間は軸をまたぐので回転体は半径の円板になり，またはのときは軸をまたがないので円環になる．）
でのはの1次式で傾き，でのはの1次式で傾きであり，でのは凸関数（凸関数の最大値は凸関数）である．さらにでは両側から，傾きに一致し，では両側から，傾きに一致するから，は上級かつ各区間で凸であり，全体として凸関数である．
よって，は凸関数の積分としての凸関数である．凸関数は閉区間上の最大値を端点で取るから，はまたは，すなわちがとちょうど1点で交わるとき（のある頂点でが支持線となるとき）に最大となる．
【解（続き：(2)）】
(1)より，各方向について体積を最大にする軸は，のある頂点で支持線となる直線（頂点でちょうど1点のみと交わる直線）である．の中心を原点とする座標をとり，の頂点をとする．方向の法線ベクトルをとすると，この方向の支持線（を片側に持つ接線で頂点に接するもの）の中心からの距離は，の台関数（サポート関数）
に等しい．全体がこの支持線の片側にあるから，パップスの定理（回転体の体積 （軸からの重心の距離）（面積））より，このときの体積は
（の重心は中心に一致し，面積は）．は（対角線方向）で最大値
をとる（一辺に平行な方向等ではで，これより小さい）．よって，すべてのにわたる体積の最大値は
であり，これはの対角線に垂直で，対角線の一端の頂点を通る直線を軸とするときに実現される．
